원의 방정식 핵심 유형 요약
핵심 개념 정리
- 원의 방정식 표준형: $$(x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2$$
- 두 점 사이의 거리 공식: $$d = \sqrt{(x_2 – x_1)^2 + (y_2 – y_1)^2}$$
- 축에 접하는 성질:
– x축 접함: $$r = |b|$$
– y축 접함: $$r = |a|$$
유형 01
문제 1. 중심이 x축 위에 있고 두 점 (2, 1), (5, 4)를 지나는 원의 반지름 길이를 구하시오.
[해설 확인하기]
1. 중심 설정: 중심이 x축 위에 있으므로 중심을 (a, 0)이라 합니다.
2. 거리 공식: 중심에서 두 점까지의 거리는 반지름(r)으로 서로 같습니다.
$$\sqrt{(2 – a)^2 + (1 – 0)^2} = \sqrt{(5 – a)^2 + (4 – 0)^2}$$
3. 양변 제곱 및 계산:
$$(2 – a)^2 + 1 = (5 – a)^2 + 16$$
$$4 – 4a + a^2 + 1 = 25 – 10a + a^2 + 16$$
$$6a = 36 \rightarrow a = 6$$
정답: 반지름 $$r = \sqrt{17}$$
유형 02
문제 2. 중심 (a, b)가 직선 y = x + 1 위에 있고 반지름이 3인 원이 점 (1, 1)을 지날 때, a + b의 값을 구하시오. (단, a > 1)
[해설 확인하기]
1. 변수 통합: b = a + 1 이므로 중심은 (a, a + 1)입니다.
2. 거리 공식: 중심과 점 (1, 1) 사이의 거리가 반지름 3과 같습니다.
$$(1 – a)^2 + (1 – (a + 1))^2 = 3^2$$
$$(1 – a)^2 + (-a)^2 = 9$$
3. 전개 및 풀이:
$$2a^2 – 2a + 1 = 9 \rightarrow a^2 – a – 4 = 0$$
근의 공식에 의해 $$a = \frac{1 + \sqrt{17}}{2}$$ (a > 1 조건 충족)
정답: $$a + b = 2a + 1 = 2 + \sqrt{17}$$
유형 03
문제 3. 원 x² + y² – 4x + 10y + k = 0 이 y축에 접할 때, 상수 k의 값을 구하시오.
[해설 확인하기]
1. 표준형 변형:
$$(x – 2)^2 + (y + 5)^2 = 4 + 25 – k$$
2. 접점 원리: y축에 접하므로 반지름 r은 중심의 x좌표인 2와 같습니다.
$$r = 2 \rightarrow r^2 = 4$$
3. k 계산: $$29 – k = 4$$
정답: k = 25
유형 04
문제 4. 제1사분면 위의 두 점 (1, 3), (5, b)가 지름의 양 끝점이고 x축에 접할 때, 양수 b의 값을 구하시오.
[해설 확인하기]
1. 반지름 설정: x축에 접하므로 반지름은 중심의 y좌표인 $$\frac{3 + b}{2}$$ 입니다.
2. 지름 관계식: 지름(2r)은 두 점 사이의 거리와 같습니다.
$$3 + b = \sqrt{(5 – 1)^2 + (b – 3)^2}$$
3. 계산: $$(3 + b)^2 = 16 + (b – 3)^2$$
$$9 + 6b + b^2 = 16 + b^2 – 6b + 9$$
$$12b = 16$$
정답: b = 4/3