📐[공통수학1] 이차·삼차·고차방정식 근과 계수의 관계 증명

[증명 과정]
1. 두 근이 \(\alpha, \beta\)이고 최고차항 계수가 \(a\)인 이차방정식은 다음과 같이 인수분해됩니다.
\[ a(x – \alpha)(x – \beta) = 0 \] 2. 좌변을 전개합니다.
\[ a\{x^2 – (\alpha + \beta)x + \alpha\beta\} = 0 \] \[ ax^2 – a(\alpha + \beta)x + a\alpha\beta = 0 \] 3. 위 식과 원래의 식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 계수를 비교합니다.
– \(x\)항의 계수 비교: \(b = -a(\alpha + \beta) \Rightarrow \alpha + \beta = -\frac{b}{a}\)
– 상수항 계수 비교: \(c = a\alpha\beta \Rightarrow \alpha\beta = \frac{c}{a}\)
Q.E.D. (증명 완료)

[증명 과정]
1. 세 근이 \(\alpha, \beta, \gamma\)이므로 식을 세우면:
\[ a(x – \alpha)(x – \beta)(x – \gamma) = 0 \] 2. 좌변을 전개합니다.
\[ a\{x^3 – (\alpha + \beta + \gamma)x^2 + (\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x – \alpha\beta\gamma\} = 0 \] \[ ax^3 – a(\alpha + \beta + \gamma)x^2 + a(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)x – a\alpha\beta\gamma = 0 \] 3. 원래의 삼차방정식 계수와 비교합니다.
– \(x^2\)항 비교: \(b = -a(\alpha + \beta + \gamma) \Rightarrow \sum \alpha = -\frac{b}{a}\)
– \(x\)항 비교: \(c = a(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha) \Rightarrow \sum \alpha\beta = \frac{c}{a}\)
– 상수항 비교: \(d = -a\alpha\beta\gamma \Rightarrow \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}\)

[일반화된 공식]
다항식의 전개 원리에 따라 근들의 조합으로 계수가 결정됩니다.
1. 모든 근의 합: \(\sum_{i=1}^n \alpha_i = -\frac{a_{n-1}}{a_n}\)
2. 두 근씩 곱한 것들의 합: \(\sum_{1 \le i < j \le n} \alpha_i\alpha_j = \frac{a_{n-2}}{a_n}\)
3. 모든 근의 곱: \(\prod_{i=1}^n \alpha_i = (-1)^n \frac{a_0}{a_n}\)