원의 방정식: 유도과정 완벽 가이드
원의 방정식은 단순히 외우는 공식이 아닙니다. 두 점 사이의 거리 공식만 알면 누구나 쉽게 유도할 수 있습니다. 피타고라스 정리에서 시작되는 그 원리를 시각적으로 확인해 보겠습니다.
1. 원의 정의와 표준형 유도
한 정점 \(C(a, b)\)로부터 일정한 거리 \(r\)에 있는 점 \(P(x, y)\)의 집합을 원이라고 합니다. 선분 \(CP\)의 길이는 항상 일정합니다.
▲ 거리 공식을 이용한 직관적인 유도 과정
1. 중심 \((a, b)\)와 점 \((x, y)\) 사이의 거리는 \(r\)이다:
$$\sqrt{(x-a)^2 + (y-b)^2} = r$$ 2. 양변을 제곱하여 루트를 제거한다:
2. 일반형에서 표준형으로 변형
전개된 형태인 일반형 \(x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0\)을 완전제곱식으로 변형하면 중심과 반지름을 구할 수 있습니다.
반지름 \(r\): \(\frac{\sqrt{A^2 + B^2 – 4C}}{2}\)
\(x^2 + Ax + \frac{A^2}{4} + y^2 + By + \frac{B^2}{4} = -C + \frac{A^2}{4} + \frac{B^2}{4}\)
\(\left(x + \frac{A}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{B}{2}\right)^2 = \frac{A^2 + B^2 – 4C}{4}\)
양변에 루트를 씌우면 반지름 \(r\)이 도출됩니다. (단, \(A^2 + B^2 – 4C > 0\))
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풀이: \(r = \frac{\sqrt{(-6)^2 + 8^2 – 4(0)}}{2} = \frac{\sqrt{100}}{2} = 5\)
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\((x+3)^2 + (y-4)^2 = 25\)
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풀이: 반지름의 제곱 부분 \(A^2 + B^2 – 4C > 0\) 이므로 \(4 + 16 – 4k > 0\)
▼ 심화 유형: 지름의 양 끝점 및 축에 접하는 원
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1단계: 중심(중점) 구하기
중심 \(x = (3+5)/2 = 4\), \(y = (-1+7)/2 = 3\). 즉, 중심 \((4, 3)\)
2단계: 반지름 제곱(\(r^2\)) 구하기
중심 \((4, 3)\)과 점 \(A(3, -1)\) 사이의 거리 제곱:
\(r^2 = (4-3)^2 + (3-(-1))^2 = 1^2 + 4^2 = 17\)
정답: \((x-4)^2 + (y-3)^2 = 17\)
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핵심 원리: \(y\)축에 접하면 반지름은 중심의 \(x\)좌표 절댓값과 같습니다.
반지름 \(r = |3| = 3\). 따라서 \(r^2 = 9\).
정답: \((x-3)^2 + (y+1)^2 = 9\)
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1단계: 사분면 확인
점 \((2, 1)\)이 제1사분면에 있으므로 중심은 \((r, r)\)입니다. (\(r>0\))
2단계: 식 대입
\((2-r)^2 + (1-r)^2 = r^2 \Rightarrow r^2 – 6r + 5 = 0\)
반지름 \(r\)은 \(1\) 또는 \(5\)입니다.
정답: \((x-1)^2 + (y-1)^2 = 1\), \((x-5)^2 + (y-5)^2 = 25\)