고등 공통수학2 ‘원의 방정식’ 단원에서 가장 단골로 출제되는 핵심 유형들을 완벽하게 정리해 보겠습니다. ‘원 밖의 점과 원 사이의 거리’, ‘직선과 원 사이의 거리’, 그리고 ‘두 현의 길이가 같을 조건’까지 단계별로 마스터해 보세요.
1. 점과 원 사이의 거리
💡 기하학적 의미 이해하기
원 밖의 한 점(원점)에서 원 위의 점까지의 거리는 중심을 지나는 직선 위에서 최소와 최대가 결정됩니다.
[예제 문제]
좌표평면 위에 두 점 A(3, 4)와 B(a, b)가 있습니다.
점 B가 점 A로부터 거리가 k인 원 위를 움직일 때,
원점과 점 B 사이 거리의 최댓값이 7이라면, 최솟값은 얼마일까요?
점 B가 점 A로부터 거리가 k인 원 위를 움직일 때,
원점과 점 B 사이 거리의 최댓값이 7이라면, 최솟값은 얼마일까요?
1단계: 원점과 중심(3, 4) 사이 거리 구하기
피타고라스 정리를 적용합니다. 가로가 3, 세로가 4인 직각삼각형의 빗변 길이는 5입니다.
(계산: 루트(3*3 + 4*4) = 루트(25) = 5) 2단계: 반지름 k 찾아내기 원점에서 가장 먼 거리(최댓값)는 “중심까지의 거리(5) + 반지름(k)”입니다.
문제에서 최댓값이 7이라고 했으니, 5 + k = 7 이 됩니다.
따라서 원의 반지름은 k = 2 임을 알 수 있습니다. 3단계: 최솟값 계산하기 원점에서 가장 가까운 거리(최단 거리)는 “중심까지의 거리(5) – 반지름(k)”입니다.
계산: 5 – 2 = 3
(계산: 루트(3*3 + 4*4) = 루트(25) = 5) 2단계: 반지름 k 찾아내기 원점에서 가장 먼 거리(최댓값)는 “중심까지의 거리(5) + 반지름(k)”입니다.
문제에서 최댓값이 7이라고 했으니, 5 + k = 7 이 됩니다.
따라서 원의 반지름은 k = 2 임을 알 수 있습니다. 3단계: 최솟값 계산하기 원점에서 가장 가까운 거리(최단 거리)는 “중심까지의 거리(5) – 반지름(k)”입니다.
계산: 5 – 2 = 3
💡 주의할 점: 만약 시험 문제에서 거리의 제곱(a² + b²)을 물어보았다면, 정답은 3의 제곱인 9가 됩니다. 문제의 마지막 질문을 항상 정확히 확인해야 합니다.
Q1. 연습 문제
중심이 (8, 6)이고 반지름이 3인 원이 있습니다. 원점까지의 최단 거리는 얼마일까요?
정답: 7
풀이: 피타고라스 정리에 의해 중심까지의 거리는 루트(8²+6²) = 10입니다. 최단 거리는 (중심거리 – 반지름)이므로 10 – 3 = 7입니다.
풀이: 피타고라스 정리에 의해 중심까지의 거리는 루트(8²+6²) = 10입니다. 최단 거리는 (중심거리 – 반지름)이므로 10 – 3 = 7입니다.
Q2. 연습 문제
중심이 (5, 12)인 원이 있습니다. 원점까지 최대 거리가 15일 때 원의 반지름은 얼마일까요?
정답: 2
풀이: 피타고라스 정리에 의해 중심까지의 거리는 루트(5²+12²) = 13입니다. 최대 거리가 13 + 반지름 = 15가 되어야 하므로 반지름은 2입니다.
풀이: 피타고라스 정리에 의해 중심까지의 거리는 루트(5²+12²) = 13입니다. 최대 거리가 13 + 반지름 = 15가 되어야 하므로 반지름은 2입니다.
2. 직선과 원 사이의 거리
💡 기하학적 의미 이해하기
원의 중심과 직선 사이의 수직 거리를 $d$, 원의 반지름을 $r$이라고 할 때, 최소/최대는 중심에서 직선에 내린 수선의 연장선 위에서 만들어집니다.
• 거리의 최솟값 = $d – r$
• 거리의 최댓값 = $d + r$
문제 1. (최솟값 구하기)
원 $x^2 + y^2 – 4x – 6y + 9 = 0$ 위의 점 P에서 직선 $3x + 4y – 38 = 0$ 까지의 거리의 최솟값은?
① $1$ ② $\frac{3}{2}$ ③ $2$ ④ $\frac{5}{2}$ ⑤ $3$
[정답] ③ 2
원의 방정식 $x^2 + y^2 – 4x – 6y + 9 = 0$을 표준형으로 바꾸면 $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 4$입니다.
따라서 원의 중심은 $(2, 3)$이고 반지름의 길이는 $r = 2$입니다.
원의 중심 $(2, 3)$과 직선 $3x + 4y – 38 = 0$ 사이의 거리 $d$는 다음과 같습니다.
$$d = \frac{|3(2) + 4(3) – 38|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 + 12 – 38|}{5} = \frac{|-20|}{5} = 4$$
원 위의 점에서 직선까지의 거리의 최솟값은 $d – r$이므로:
$$4 – 2 = 2$$
원의 방정식 $x^2 + y^2 – 4x – 6y + 9 = 0$을 표준형으로 바꾸면 $(x-2)^2 + (y-3)^2 = 4$입니다.
따라서 원의 중심은 $(2, 3)$이고 반지름의 길이는 $r = 2$입니다.
원의 중심 $(2, 3)$과 직선 $3x + 4y – 38 = 0$ 사이의 거리 $d$는 다음과 같습니다.
$$d = \frac{|3(2) + 4(3) – 38|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|6 + 12 – 38|}{5} = \frac{|-20|}{5} = 4$$
원 위의 점에서 직선까지의 거리의 최솟값은 $d – r$이므로:
$$4 – 2 = 2$$
문제 2. (최댓값 구하기)
원 $x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0$ 위의 점 P에서 직선 $5x – 12y + 94 = 0$ 까지의 거리의 최댓값은?
① $5$ ② $6$ ③ $7$ ④ $8$ ⑤ $9$
[정답] ④ 8
원의 방정식 $x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0$을 표준형으로 바꾸면 $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$입니다.
따라서 원의 중심은 $(-1, 2)$이고 반지름의 길이는 $r = 3$입니다.
원의 중심 $(-1, 2)$와 직선 $5x – 12y + 94 = 0$ 사이의 거리 $d$는 다음과 같습니다.
$$d = \frac{|5(-1) – 12(2) + 94|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|-5 – 24 + 94|}{13} = \frac{|65|}{13} = 5$$
원 위의 점에서 직선까지의 거리의 최댓값은 $d + r$이므로:
$$5 + 3 = 8$$
원의 방정식 $x^2 + y^2 + 2x – 4y – 4 = 0$을 표준형으로 바꾸면 $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 9$입니다.
따라서 원의 중심은 $(-1, 2)$이고 반지름의 길이는 $r = 3$입니다.
원의 중심 $(-1, 2)$와 직선 $5x – 12y + 94 = 0$ 사이의 거리 $d$는 다음과 같습니다.
$$d = \frac{|5(-1) – 12(2) + 94|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|-5 – 24 + 94|}{13} = \frac{|65|}{13} = 5$$
원 위의 점에서 직선까지의 거리의 최댓값은 $d + r$이므로:
$$5 + 3 = 8$$
3. 두 직선에 의해 잘린 현의 길이가 같을 조건
💡 기하학적 의미 이해하기
한 원에서 두 현의 길이가 같다는 것은, 원의 중심에서 두 직선까지의 수직 거리가 서로 같다는 것을 뜻합니다.
즉, $d_1 = d_2$ 임을 이용하여 식을 세웁니다.
[유사 문제 1]
원 $C: x^2 + y^2 – 4x + 2ay – 5 = 0$에 대하여 원 $C$와 직선 $4x + 3y – 2 = 0$이 만나는 두 점 사이의 거리와 원 $C$와 직선 $x = -1$이 만나는 두 점 사이의 거리가 같을 때, 양수 $a$의 값을 구하시오.
[정답] 7
원의 방정식 $x^2 + y^2 – 4x + 2ay – 5 = 0$을 표준형으로 바꾸면 $(x-2)^2 + (y+a)^2 = a^2 + 9$입니다.
따라서 원의 중심은 $(2, -a)$입니다.
두 직선에 의해 잘린 현의 길이가 같으므로, 원의 중심에서 두 직선까지의 거리는 서로 같습니다.
원의 중심 $(2, -a)$와 직선 $4x + 3y – 2 = 0$ 사이의 거리 $d_1$은 다음과 같습니다.
$$d_1 = \frac{|4(2) + 3(-a) – 2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|6 – 3a|}{5}$$
원의 중심 $(2, -a)$와 직선 $x = -1$ (즉, $x + 1 = 0$) 사이의 거리 $d_2$는 다음과 같습니다.
$$d_2 = \frac{|2 + 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = 3$$
$d_1 = d_2$ 이므로:
$$\frac{|6 – 3a|}{5} = 3$$ $$|6 – 3a| = 15$$
$6 – 3a = 15$ 또는 $6 – 3a = -15$ 이며, 이를 풀면 $a = -3$ 또는 $a = 7$ 입니다.
문제에서 양수 $a$의 값을 구하라고 하였으므로, $a = 7$ 입니다.
원의 방정식 $x^2 + y^2 – 4x + 2ay – 5 = 0$을 표준형으로 바꾸면 $(x-2)^2 + (y+a)^2 = a^2 + 9$입니다.
따라서 원의 중심은 $(2, -a)$입니다.
두 직선에 의해 잘린 현의 길이가 같으므로, 원의 중심에서 두 직선까지의 거리는 서로 같습니다.
원의 중심 $(2, -a)$와 직선 $4x + 3y – 2 = 0$ 사이의 거리 $d_1$은 다음과 같습니다.
$$d_1 = \frac{|4(2) + 3(-a) – 2|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|6 – 3a|}{5}$$
원의 중심 $(2, -a)$와 직선 $x = -1$ (즉, $x + 1 = 0$) 사이의 거리 $d_2$는 다음과 같습니다.
$$d_2 = \frac{|2 + 1|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = 3$$
$d_1 = d_2$ 이므로:
$$\frac{|6 – 3a|}{5} = 3$$ $$|6 – 3a| = 15$$
$6 – 3a = 15$ 또는 $6 – 3a = -15$ 이며, 이를 풀면 $a = -3$ 또는 $a = 7$ 입니다.
문제에서 양수 $a$의 값을 구하라고 하였으므로, $a = 7$ 입니다.
[유사 문제 2]
원 $C: x^2 + y^2 + 2ax + 6y – 1 = 0$에 대하여 원 $C$와 직선 $5x – 12y + 4 = 0$이 만나는 두 점 사이의 거리와 원 $C$와 직선 $y = 2$가 만나는 두 점 사이의 거리가 같을 때, 양수 $a$의 값을 구하시오.
[정답] 21
원의 방정식 $x^2 + y^2 + 2ax + 6y – 1 = 0$을 표준형으로 바꾸면 $(x+a)^2 + (y+3)^2 = a^2 + 10$입니다.
따라서 원의 중심은 $(-a, -3)$입니다.
두 현의 길이가 같으므로, 원의 중심에서 두 직선까지의 거리는 같습니다.
원의 중심 $(-a, -3)$과 직선 $5x – 12y + 4 = 0$ 사이의 거리 $d_1$은 다음과 같습니다.
$$d_1 = \frac{|5(-a) – 12(-3) + 4|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|-5a + 36 + 4|}{13} = \frac{|-5a + 40|}{13}$$
원의 중심 $(-a, -3)$과 직선 $y = 2$ (즉, $y – 2 = 0$) 사이의 거리 $d_2$는 다음과 같습니다.
$$d_2 = \frac{|-3 – 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = |-5| = 5$$
$d_1 = d_2$ 이므로:
$$\frac{|-5a + 40|}{13} = 5$$ $$|-5a + 40| = 65$$
$-5a + 40 = 65$ 또는 $-5a + 40 = -65$ 이며, 이를 풀면 $a = -5$ 또는 $a = 21$ 입니다.
양수 $a$의 값을 구해야 하므로, $a = 21$ 입니다.
원의 방정식 $x^2 + y^2 + 2ax + 6y – 1 = 0$을 표준형으로 바꾸면 $(x+a)^2 + (y+3)^2 = a^2 + 10$입니다.
따라서 원의 중심은 $(-a, -3)$입니다.
두 현의 길이가 같으므로, 원의 중심에서 두 직선까지의 거리는 같습니다.
원의 중심 $(-a, -3)$과 직선 $5x – 12y + 4 = 0$ 사이의 거리 $d_1$은 다음과 같습니다.
$$d_1 = \frac{|5(-a) – 12(-3) + 4|}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} = \frac{|-5a + 36 + 4|}{13} = \frac{|-5a + 40|}{13}$$
원의 중심 $(-a, -3)$과 직선 $y = 2$ (즉, $y – 2 = 0$) 사이의 거리 $d_2$는 다음과 같습니다.
$$d_2 = \frac{|-3 – 2|}{\sqrt{0^2 + 1^2}} = |-5| = 5$$
$d_1 = d_2$ 이므로:
$$\frac{|-5a + 40|}{13} = 5$$ $$|-5a + 40| = 65$$
$-5a + 40 = 65$ 또는 $-5a + 40 = -65$ 이며, 이를 풀면 $a = -5$ 또는 $a = 21$ 입니다.
양수 $a$의 값을 구해야 하므로, $a = 21$ 입니다.
[유사 문제 3]
원 $C: x^2 + y^2 – 8x + 2ay + 2 = 0$에 대하여 원 $C$와 직선 $3x + 4y – 2 = 0$이 만나는 두 점 사이의 거리와 원 $C$와 직선 $x = 2$가 만나는 두 점 사이의 거리가 같을 때, 양수 $a$의 값을 구하시오.
[정답] 5
원의 방정식 $x^2 + y^2 – 8x + 2ay + 2 = 0$을 표준형으로 바꾸면 $(x-4)^2 + (y+a)^2 = a^2 + 14$입니다.
따라서 원의 중심은 $(4, -a)$입니다.
두 현의 길이가 같으므로, 원의 중심에서 두 직선까지의 거리는 같습니다.
원의 중심 $(4, -a)$와 직선 $3x + 4y – 2 = 0$ 사이의 거리 $d_1$은 다음과 같습니다.
$$d_1 = \frac{|3(4) + 4(-a) – 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|12 – 4a – 2|}{5} = \frac{|10 – 4a|}{5}$$
원의 중심 $(4, -a)$와 직선 $x = 2$ (즉, $x – 2 = 0$) 사이의 거리 $d_2$는 다음과 같습니다.
$$d_2 = \frac{|4 – 2|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = 2$$
$d_1 = d_2$ 이므로:
$$\frac{|10 – 4a|}{5} = 2$$ $$|10 – 4a| = 10$$
$10 – 4a = 10$ 또는 $10 – 4a = -10$ 이며, 이를 풀면 $a = 0$ 또는 $a = 5$ 입니다.
양수 $a$의 값을 구해야 하므로, $a = 5$ 입니다.
원의 방정식 $x^2 + y^2 – 8x + 2ay + 2 = 0$을 표준형으로 바꾸면 $(x-4)^2 + (y+a)^2 = a^2 + 14$입니다.
따라서 원의 중심은 $(4, -a)$입니다.
두 현의 길이가 같으므로, 원의 중심에서 두 직선까지의 거리는 같습니다.
원의 중심 $(4, -a)$와 직선 $3x + 4y – 2 = 0$ 사이의 거리 $d_1$은 다음과 같습니다.
$$d_1 = \frac{|3(4) + 4(-a) – 2|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{|12 – 4a – 2|}{5} = \frac{|10 – 4a|}{5}$$
원의 중심 $(4, -a)$와 직선 $x = 2$ (즉, $x – 2 = 0$) 사이의 거리 $d_2$는 다음과 같습니다.
$$d_2 = \frac{|4 – 2|}{\sqrt{1^2 + 0^2}} = 2$$
$d_1 = d_2$ 이므로:
$$\frac{|10 – 4a|}{5} = 2$$ $$|10 – 4a| = 10$$
$10 – 4a = 10$ 또는 $10 – 4a = -10$ 이며, 이를 풀면 $a = 0$ 또는 $a = 5$ 입니다.
양수 $a$의 값을 구해야 하므로, $a = 5$ 입니다.
어떠셨나요? 복잡해 보이는 문제도 ‘원의 중심’과 ‘거리’라는 핵심 개념 하나로 모두 연결됩니다.