직사각형 면적 모델의 원리를 떠올리며 풀어보세요!
Q1. 어떤 자연수 N = 2ᵃ × 3ᵇ의 약수의 개수를 구하는 공식은?
정답: (a + 1) × (b + 1)
각 소인수를 0개 선택하는 경우(약수 1)가 포함되어 가로, 세로 칸이 하나씩 늘어나기 때문입니다.
각 소인수를 0개 선택하는 경우(약수 1)가 포함되어 가로, 세로 칸이 하나씩 늘어나기 때문입니다.
Q2. 72 (2³ × 3²)의 약수의 총합을 구하는 올바른 식은?
정답: (1 + 2 + 4 + 8) × (1 + 3 + 9)
가로 전체 길이의 합과 세로 전체 길이의 합을 곱하면 전체 면적(약수들의 합)이 나옵니다.
가로 전체 길이의 합과 세로 전체 길이의 합을 곱하면 전체 면적(약수들의 합)이 나옵니다.
Q3. 100 (2² × 5²)의 약수 중 짝수의 개수는?
정답: 6개
짝수가 되려면 2를 최소 1개는 써야 합니다. 2의 선택지(2¹, 2²) 2개와 5의 선택지(1, 5¹, 5²) 3개를 곱해 2 × 3 = 6입니다.
짝수가 되려면 2를 최소 1개는 써야 합니다. 2의 선택지(2¹, 2²) 2개와 5의 선택지(1, 5¹, 5²) 3개를 곱해 2 × 3 = 6입니다.
Q4. 약수의 총합이 (1+3+9+27) × (1+5)인 숫자는?
정답: 135
3³ × 5¹을 계산하면 27 × 5 = 135입니다.
3³ × 5¹을 계산하면 27 × 5 = 135입니다.
Q5. 120 (2³ × 3¹ × 5¹)의 약수의 개수는?
정답: 16개
(3+1) × (1+1) × (1+1) = 4 × 2 × 2 = 16입니다.
(3+1) × (1+1) × (1+1) = 4 × 2 × 2 = 16입니다.
Q6. 약수의 개수가 6개인 가장 작은 자연수는?
정답: 12
2² × 3¹ = 12일 때 약수가 (2+1) × (1+1) = 6개로 가장 작습니다.
2² × 3¹ = 12일 때 약수가 (2+1) × (1+1) = 6개로 가장 작습니다.
Q7. 45 (3² × 5¹)의 모든 약수의 합은?
정답: 78
(1+3+9) × (1+5) = 13 × 6 = 78입니다.
(1+3+9) × (1+5) = 13 × 6 = 78입니다.
Q8. 약수의 총합 공식이 “가로 합 × 세로 합”인 원리는?
정답: 분배법칙
괄호를 풀면 모든 약수의 조합이 합의 형태로 나열되기 때문입니다.
괄호를 풀면 모든 약수의 조합이 합의 형태로 나열되기 때문입니다.
Q9. 360 (2³ × 3² × 5¹)의 약수 중 홀수의 개수는?
정답: 6개
2를 제외한 3² × 5¹의 약수 개수와 같으므로 (2+1) × (1+1) = 6입니다.
2를 제외한 3² × 5¹의 약수 개수와 같으므로 (2+1) × (1+1) = 6입니다.
Q10. 2ⁿ × 3¹의 약수의 총합이 28일 때, n은?
정답: 2
(1+2+4) × (1+3) = 7 × 4 = 28이므로 2의 지수 n은 2입니다.
(1+2+4) × (1+3) = 7 × 4 = 28이므로 2의 지수 n은 2입니다.