음수의 제곱근은 그냥 루트를 묶거나 곱하면 안 됩니다. 특히 허수 단위 \(i\)가 포함될 때 아래 규칙을 지키면 실수를 피할 수 있어요.
1) 기본 성질
| 조건 | 식 | 결과/예시 |
|---|---|---|
| \(a<0,\ b<0\) | \(\sqrt{a}\,\sqrt{b} = -\sqrt{ab}\) | 예) \(\sqrt{-2}\,\sqrt{-3} = -\sqrt{6}\) |
| \(a>0,\ b<0\) | \(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = -\sqrt{\dfrac{a}{b}}\) | 예) \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}} = -\sqrt{\dfrac{2}{3}}\,i\) |
2) 곱셈 예시
| 수식 | 결과 |
|---|---|
| \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}\) | = \(\sqrt{6}\) |
| \(\sqrt{-2}\times\sqrt{3}\) | = \(\sqrt{2}i\times\sqrt{3} = \sqrt{6}i = \sqrt{-6}\) |
| \(\sqrt{2}\times\sqrt{-3}\) | = \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}i = \sqrt{6}i = \sqrt{-6}\) |
| \(\sqrt{-2}\times\sqrt{-3}\) | = \(\sqrt{2}i\times\sqrt{3}i = \sqrt{6}i^{2} = -\sqrt{6}\) |
주의 (곱셈의 함정)
\(\sqrt{(-2)\times(-3)} = \sqrt{6}\) 이지만, \(\sqrt{-2}\times\sqrt{-3} = -\sqrt{6}\) 이므로
\(\sqrt{(-2)\times(-3)} \ne \sqrt{-2}\times\sqrt{-3}\).
3) 나눗셈 예시
| 수식 | 결과 |
|---|---|
| \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\) | = \(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\) |
| \(\dfrac{\sqrt{-2}}{\sqrt{3}}\) | = \(\dfrac{\sqrt{2}i}{\sqrt{3}} = \sqrt{\dfrac{2}{3}}\,i = \sqrt{\dfrac{-2}{3}}\) |
| \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}}\) | = \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}i} = \dfrac{-\sqrt{2}i}{\sqrt{3}} = -\sqrt{\dfrac{2}{3}}\,i = \sqrt{\dfrac{-2}{3}}\) |
| \(\dfrac{\sqrt{-2}}{\sqrt{-3}}\) | = \(\dfrac{\sqrt{2}i}{\sqrt{3}i} = \sqrt{\dfrac{2}{3}} = \sqrt{\dfrac{(-2)}{(-3)}}\) |
주의 (분모 음수 처리)
- 분모만 음수일 때: \(\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{-3}} = -\sqrt{\dfrac{2}{3}}\,i\)
- 분자·분모가 모두 음수일 때: \(\sqrt{\dfrac{(-2)}{(-3)}} = \sqrt{\dfrac{2}{3}}\) (부호 상쇄)
4) 핵심 공식 요약
$$\sqrt{-a} = i\sqrt{a} \quad (a>0)$$
$$\sqrt{-a}\,\sqrt{-b} = -\sqrt{ab}$$
$$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{-b}} = -\sqrt{\dfrac{a}{b}}\,i$$