📐 약수의 합: 2D 표와 3D 큐브의 비밀
중학교 1학년 수학 소인수분해 단원에서 가장 헷갈리는 약수의 합 공식! 단순히 암기하지 말고, 교재의 핵심인 도형의 넓이(2D)와 부피(3D) 원리로 완벽하게 이해해 보세요.
1. 소인수가 2개일 때: 직사각형의 넓이 (2D)
자연수 12를 예로 들어봅시다. 12를 소인수분해하면 2² × 3이 됩니다.
12의 약수의 합은 가로와 세로가 있는 직사각형 전체의 넓이를 구하는 것과 같습니다.
| × | 1 | 3 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 3 |
| 2 | 2 | 6 |
| 4 (2²) | 4 | 12 |
표 안의 모든 약수를 더하는 것은 가로합과 세로합을 곱하는 것과 원리가 같습니다.
∴ 12의 약수의 합 = (1 + 2 + 4) × (1 + 3) = 7 × 4 = 28
2. 소인수가 3개일 때: 직육면체의 부피 (3D)
소인수가 3개인 60(2² × 3 × 5)은 평면을 넘어 입체 도형(직육면체)의 개념으로 확장됩니다.
60의 약수의 합은 직육면체 전체의 부피를 구하는 원리와 똑같습니다!
- 가로의 합: 소인수 2의 약수들 (1 + 2 + 4)
- 세로의 합: 소인수 3의 약수들 (1 + 3)
- 높이의 합: 소인수 5의 약수들 (1 + 5)
∴ 60의 약수의 합 = (1 + 2 + 4) × (1 + 3) × (1 + 5)
= 7 × 4 × 6 = 168
= 7 × 4 × 6 = 168
3. 약수의 합 끝판왕 공식
자연수 P가 서로 다른 소수 a, b, c에 대하여 소인수분해될 때, 최종 공식은 다음과 같습니다.
P = aˡ × bᵐ × cⁿ 일 때,
약수의 합 = (1+a+…+aˡ) × (1+b+…+bᵐ) × (1+c+…+cⁿ)
약수의 합 = (1+a+…+aˡ) × (1+b+…+bᵐ) × (1+c+…+cⁿ)
💡 핵심 요약:
약수의 종류가 2개면 2D 넓이(괄호 2개), 3개면 3D 부피(괄호 3개)를 구한다고 생각하세요. 각 소인수의 약수를 1부터 지수 끝까지 더한 뒤 싹 곱해주면 끝납니다!