이차방정식의 해를 직접 구하지 않고 판별식(D)과 근과 계수의 관계만으로 근의 성질을 파악하는 핵심 내용을 정리합니다.
1. 실근의 부호 결정 이론
계수가 실수인 이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 두 실근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때:
- 두 근이 모두 양수 (\(\alpha > 0, \beta > 0\))
\(D \ge 0, \quad \alpha+\beta > 0, \quad \alpha\beta > 0\)
- 두 근이 모두 음수 (\(\alpha < 0, \beta < 0\))
\(D \ge 0, \quad \alpha+\beta < 0, \quad \alpha\beta > 0\)
- 두 근이 서로 다른 부호
\(\alpha\beta < 0\)
(이 경우 판별식 \(D\)는 항상 0보다 크므로 생략 가능)
2. 실전 문제 풀이 (중근 포함)
문제: \(x^2 – 2(k-1)x + k+5 = 0\)의 \(k\) 범위 구하기
Case 1: 두 근이 모두 양수
1) 판별식: \((k-1)^2 – (k+5) \ge 0 \Rightarrow k \le -1\) 또는 \(k \ge 4\)
2) 합: \(2(k-1) > 0 \Rightarrow k > 1\)
3) 곱: \(k+5 > 0 \Rightarrow k > -5\)
👉 결과: \(k \ge 4\)
Case 2: 두 근이 모두 음수
1) 판별식: \(k \le -1\) 또는 \(k \ge 4\)
2) 합: \(2(k-1) < 0 \Rightarrow k < 1\)
3) 곱: \(k+5 > 0 \Rightarrow k > -5\)
👉 결과: \(-5 < k \le -1\)
Case 3: 부호가 다를 때
1) 곱: \(k+5 < 0\)
👉 결과: \(k < -5\)
3. 요약 테이블
| 근의 상태 | 판별식 (\(D\)) | 합 (\(\alpha+\beta\)) | 곱 (\(\alpha\beta\)) |
|---|---|---|---|
| 모두 양수 | \(D \ge 0\) | \(> 0\) | \(> 0\) |
| 모두 음수 | \(D \ge 0\) | \(< 0\) | \(> 0\) |
| 부호 다름 | (생략) | (무관) | \(< 0\) |
※ “서로 다른”이라는 말이 없으면 반드시 \(D \ge 0\) (등호 포함)으로 계산하세요!