중1-1 수학 | 소인수분해 활용: 약수의 개수가 주어진 가장 작은 자연수 구하기 공식 정리

중학교 1학년 1학기 수학 ‘소인수분해’ 단원에서 다루는, 약수의 개수가 N개일 때 가장 작은 자연수를 찾는 전략과 공식을 상세히 정리합니다.

약수의 개수 문제를 완벽히 마스터하고 싶은 학생들에게 큰 도움이 될 것입니다.

1. 약수의 개수 공식 이해 🧑‍🏫

어떤 자연수 A의 약수의 개수를 구하려면, 먼저 A를 소인수분해해야 합니다.

2. 가장 작은 자연수를 찾는 전략 🎯

약수의 개수 N이 주어졌을 때, 공식 **N = (a + 1) x (b + 1) x …** 를 만족하는 자연수 A 중 가장 작은 수를 찾기 위한 핵심 전략은 다음과 같습니다.

1. N을 곱으로 분해: 약수의 개수 N을 두 개 이상의 수의 곱으로 나타내는 **모든 경우**를 찾습니다.
2. 지수 결정: 분해된 곱의 각 요소에서 1을 빼서 지수 (a, b, c, …)를 결정합니다.
3. 작은 소수 전략적 배치 (최소화 원칙): 전체 값 A를 최소화하기 위해 **지수가 가장 큰 쪽**에 **가장 작은 소수 (2)**를 배치하고, 나머지 소수들을 지수 크기에 따라 순서대로 배치합니다.

3. 약수의 개수가 특수한 경우 (기초 개념) 🌟

소인수분해 공식과 연관하여 약수의 개수가 특정한 값을 가질 때 자연수의 성질은 기초 개념으로 중요합니다.

약수의 개수	자연수의 성질	소인수분해 꼴	예시
1개	1뿐입니다.	–	1
2개	소수입니다.	p1	2, 3, 5, 7, …
3개	(소수)² 꼴입니다.	p2	4=22, 9=32, 25=52, …
홀수 개	자연수의 제곱인 수 (완전제곱수)입니다.	모든 지수가 짝수	1, 4, 9, 16, 25, 36, …

4. 예시: 약수의 개수가 12개인 가장 작은 자연수 구하기 🔍

약수의 개수 N=12를 곱으로 나타내는 모든 경우를 찾아 가장 작은 자연수를 찾습니다.

약수의 개수 N=12를 곱으로 표현	지수 (a, b, c, …)	소인수 적용 (2, 3, 5)	계산 결과
12	(11)	211	2048
6 x 2	(5, 1)	25 x 31	32 x 3 = 96
4 x 3	(3, 2)	23 x 32	8 x 9 = 72
3 x 2 x 2	(2, 1, 1)	22 x 31 x 51	4 x 3 x 5 = 60

위 경우 중 가장 작은 자연수는 60입니다.

5. 자주 나오는 문제 정리 (참고)

시험에 자주 출제되는 약수의 개수별 최소 자연수입니다.

약수의 개수	가장 작은 자연수	소인수분해 형태
8개	24	23 x 31
10개	48	24 x 31
12개	60	22 x 31 x 51
15개	144	24 x 32
18개	120	23 x 31 x 51
20개	168	23 x 31 x 71