📘 고등 인수분해 공식 총정리
📘 고등 인수분해 공식 총정리
고등 수학에서 다항식의 정리와 인수분해는 매우 중요한 단원입니다. 이 페이지에서는 곱셈 공식, 변형 공식, 인수분해 공식을 구조별로 정리하였으며, 각 항목에는 오답 방지용 팁도 함께 정리되어 있어 개념 이해와 실전 대비 모두에 효과적입니다.
✅ 1. 곱셈 공식
| 번호 |
공식유형 |
공식형태 |
결과식 |
| (1) |
완전제곱식 |
(a + b)² |
a² + 2ab + b² |
|
완전제곱식 |
(a – b)² |
a² – 2ab + b² |
| (2) |
차의 제곱 |
(a – b)(a + b) |
a² – b² |
| (3) |
이차식 전개 |
(x + a)(x + b) |
x² + (a + b)x + ab |
| (4) |
이차 다항 전개 |
(ax + b)(cx + d) |
acx² + (ad + bc)x + bd |
| (5) |
⭐ 삼차 전개 |
(x + a)(x + b)(x + c) |
x³ + (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x + abc |
|
⭐ 삼차 전개 |
(x – a)(x – b)(x – c) |
x³ – (a + b + c)x² + (ab + bc + ca)x – abc |
| (6) |
⭐ 삼항 완전제곱 |
(a + b + c)² |
a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca |
| (7) |
⭐ 세제곱 |
(a + b)³ |
a³ + 3a²b + 3ab² + b³ |
|
⭐ 세제곱 |
(a – b)³ |
a³ – 3a²b + 3ab² – b³ |
| (8) |
⭐ 세제곱 응용 |
(a + b)(a² – ab + b²) |
a³ + b³ |
|
⭐ 세제곱 응용 |
(a – b)(a² + ab + b²) |
a³ – b³ |
| (9) |
⭐ 삼제곱 복합 |
(a + b + c)(a² + b² + c² − ab − bc − ca) |
a³ + b³ + c³ − 3abc |
| (10) |
⭐ 네제곱 구조 |
(a² − ab + b²)(a² + ab + b²) |
a⁴ + b⁴ − a²b² |
✅ 2. 곱셈 공식의 변형
| 번호 |
공식유형 |
공식형태 |
결과식 |
| (1) |
곱셈 공식 변형 |
\( a^2 + b^2 \) |
\( (a + b)^2 – 2ab \), \( (a – b)^2 + 2ab \) |
| (2) |
⭐ 분수제곱 변형 |
\( x^2 + \frac{1}{x^2} \) |
\( (x + \frac{1}{x})^2 – 2 \), \( (x – \frac{1}{x})^2 + 2 \) |
| (3) |
⭐ 세제곱 합 |
\( a^3 + b^3 \) |
\( (a + b)(a^2 – ab + b^2) \) |
|
⭐ 세제곱 차 |
\( a^3 – b^3 \) |
\( (a – b)(a^2 + ab + b^2) \) |
| (4) |
⭐ 세제곱 분수 합 |
\( x^3 + \frac{1}{x^3} \) |
\( (x + \frac{1}{x})^3 – 3(x + \frac{1}{x}) \) |
| (5) |
제곱식 |
\( (x – y)^2 \) |
\( x^2 – 2xy + y^2 \) |
| (6) |
⭐ 분수 제곱식 |
\( (x – \frac{1}{x})^2 \) |
\( x^2 – 2 + \frac{1}{x^2} \) |
| (7) |
⭐ 고차항 합 |
\( x^5 + y^5 \) |
\( (x + y)(x^4 – x^3y + x^2y^2 – xy^3 + y^4) \) |
| (8) |
⭐ 고차항 합 |
\( x^7 + y^7 \) |
\( (x + y)(x^6 – x^5y + x^4y^2 – x^3y^3 + x^2y^4 – xy^5 + y^6) \) |
| (9) |
⭐ 삼항 제곱식 |
\( a^2 + b^2 + c^2 \) |
\( (a + b + c)^2 – 2(ab + bc + ca) \) |
| (10) |
⭐ 삼항 구조식 |
\( a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca \) |
\( \frac{1}{2}((a – b)^2 + (b – c)^2 + (c – a)^2) \) |
| (11) |
⭐ 세제곱 전체합 구조 |
\( a^3 + b^3 + c^3 \) |
\( (a + b + c)^3 – 3(a + b + c)(ab + bc + ca) + 3abc \) |
✅ 3. 인수분해 공식
| 번호 |
공식유형 |
공식형태 |
결과식 |
| (1) |
공통 인수 |
\( ma + mb \) |
\( m(a + b) \) |
| (2) |
제곱식 |
\( a^2 + 2ab + b^2 \) |
\( (a + b)^2 \) |
|
제곱식 |
\( a^2 – 2ab + b^2 \) |
\( (a – b)^2 \) |
| (3) |
차의 제곱 |
\( a^2 – b^2 \) |
\( (a – b)(a + b) \) |
| (4) |
완전제곱식 |
\( x^2 + (a + b)x + ab \) |
\( (x + a)(x + b) \) |
| (5) |
이차식 |
\( acx^2 + (ad + bc)x + bd \) |
\( (ax + b)(cx + d) \) |
| (6) |
⭐ 세제곱 완전식 |
\( a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \) |
\( (a + b)^3 \) |
|
⭐ 세제곱 완전식 |
\( a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3 \) |
\( (a – b)^3 \) |
| (7) |
세제곱 합/차 |
\( a^3 + b^3 \) |
\( (a + b)(a^2 – ab + b^2) \) |
|
세제곱 합/차 |
\( a^3 – b^3 \) |
\( (a – b)(a^2 + ab + b^2) \) |
| (8) |
삼제곱 + 이항 |
\( a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca \) |
\( (a + b + c)^2 \) |
| (9) |
⭐ 삼세제곱 – 삼곱 |
\( a^3 + b^3 + c^3 – 3abc \) |
\( (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 – ab – bc – ca) \) |
| (10) |
다항식 특수 |
\( a^4 + a^2b^2 + b^4 \) |
\( (a^2 + ab + b^2)(a^2 – ab + b^2) \) |
| (11) |
⭐ 삼항 곱 전개 |
\( (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc \) |
\( a^3 + b^3 + c^3 – 3abc \) |
인수분해는 단순 암기보다 패턴을 이해하고 반복 적용해보는 것이 더 중요합니다. 특히 세제곱 공식이나 삼항 구조식처럼 응용이 많은 항목은 자주 틀리는 유형과 함께 반복 학습하세요. 문제풀이와 병행하면 훨씬 효과적으로 체득할 수 있습니다.