1. 일차방정식과 부등식 (\(ax = b\))
계수 \(a\)가 0인 경우 해의 존재 여부를 반드시 체크해야 합니다.
- \(a \neq 0\): \(x = \frac{b}{a}\) (유일한 해)
- \(a = 0, b \neq 0\): \(0 \cdot x = b \rightarrow\) 해 가 없다 (불능)
- \(a = 0, b = 0\): \(0 \cdot x = 0 \rightarrow\) 해가 무수히 많다 (부정)
- 부등식 주의: \(a < 0\)일 때 \(ax > b \rightarrow x < \frac{b}{a}\) (부동호 방향 반전)
2. 이차방정식 근의 공식 및 유도
(1) 일반 근의 공식
이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\) (\(a \neq 0\))의 해:
\(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\)
(2) 짝수 근의 공식 (중요)
일차항의 계수가 짝수(\(b = 2b’\))인 경우, 계산을 단순화하기 위해 사용합니다.
\(x = \frac{-b’ \pm \sqrt{(b’)^2 – ac}}{a}\)
[유도 상세 과정]
1. \(ax^2 + bx = -c\) (상수항 이항)
2. \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\) (\(a\)로 나누기)
3. 양변에 \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}\)를 더하여 완전제곱식 완성
4. \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 – 4ac}{4a^2}\)
5. 제곱근을 취하여 정리하면 일반 공식 도출. 여기에 \(b=2b’\)를 대입하면 짝수 공식이 됩니다.
1. \(ax^2 + bx = -c\) (상수항 이항)
2. \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\) (\(a\)로 나누기)
3. 양변에 \(\left(\frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2}{4a^2}\)를 더하여 완전제곱식 완성
4. \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 – 4ac}{4a^2}\)
5. 제곱근을 취하여 정리하면 일반 공식 도출. 여기에 \(b=2b’\)를 대입하면 짝수 공식이 됩니다.
3. 이차방정식의 판별식 (\(D\))
실계수 이차방정식의 근이 실근인지 허근인지 판단하는 지표입니다.
| 일반 판별식 (\(D\)) | 짝수 판별식 (\(D/4\)) | 근의 종류 |
|---|---|---|
| \(D = b^2 – 4ac > 0\) | \(D/4 = (b’)^2 – ac > 0\) | 서로 다른 두 실근 |
| \(D = 0\) | \(D/4 = 0\) | 중근 (서로 같은 두 실근) |
| \(D < 0\) | \(D/4 < 0\) | 서로 다른 두 허근 |
※ 실근을 가질 조건: \(D \ge 0\) 또는 \(D/4 \ge 0\)
4. 근과 계수의 관계 (증명)
두 근을 \(\alpha, \beta\)라 할 때:
\(\alpha + \beta = -\frac{b}{a}\), \(\alpha\beta = \frac{c}{a}\)
[증명]
이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 두 근이 \(\alpha, \beta\)이면,
좌변은 \(a(x-\alpha)(x-\beta)\)로 인수분해됩니다.
\(a(x^2 – (\alpha+\beta)x + \alpha\beta) = ax^2 + bx + c\)
각 항의 계수를 비교하면 위 공식이 성립함을 알 수 있습니다.
이차방정식 \(ax^2 + bx + c = 0\)의 두 근이 \(\alpha, \beta\)이면,
좌변은 \(a(x-\alpha)(x-\beta)\)로 인수분해됩니다.
\(a(x^2 – (\alpha+\beta)x + \alpha\beta) = ax^2 + bx + c\)
각 항의 계수를 비교하면 위 공식이 성립함을 알 수 있습니다.
5. 켤레근의 존재성 증명
계수가 실수일 때 한 근이 \(p+qi\)이면 \(\bar{z}=p-qi\)도 근입니다.
[증명: 복소수 상등 이용]
1. \(x = p+qi\)를 대입: \(a(p+qi)^2 + b(p+qi) + c = 0\)
2. 전개 후 정리: \(\{a(p^2-q^2)+bp+c\} + (2apq+bq)i = 0\)
3. 실수부와 허수부가 각각 0이어야 함을 확인.
4. \(x = p-qi\)를 대입하면 허수부의 부호만 바뀔 뿐 전체 식은 여전히 0이 됨.
5. 결론: 계수가 실수인 방정식에서 켤레복소수는 반드시 세트로 근이 됨.
1. \(x = p+qi\)를 대입: \(a(p+qi)^2 + b(p+qi) + c = 0\)
2. 전개 후 정리: \(\{a(p^2-q^2)+bp+c\} + (2apq+bq)i = 0\)
3. 실수부와 허수부가 각각 0이어야 함을 확인.
4. \(x = p-qi\)를 대입하면 허수부의 부호만 바뀔 뿐 전체 식은 여전히 0이 됨.
5. 결론: 계수가 실수인 방정식에서 켤레복소수는 반드시 세트로 근이 됨.