[공통수학2] 원의 접선의 방정식

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고1 수학 원의 접선의 방정식 완벽 정리 – 공식, 증명, 암기팁

고등학교 1학년 수학 공통수학 2 과정에서 도형과 식이 만나는 핵심 파트입니다. 중2 선행 학습 과정이라면 특히 증명 원리를 이해하는 것이 중요합니다. 분수와 긴 루트를 활용한 상세 증명과 암기 비법을 직접 그린 그림과 함께 정리했습니다.

1. 기울기 m이 주어질 때

기울기가 정해진 접선은 원의 위아래로 평행하게 총 2개가 생깁니다. 그래서 공식에 ±가 포함됩니다.

y = mx ± r√m2 + 1
기울기 m이 주어진 원의 접선 그래프

[그림 1] 기울기 m과 n의 관계를 보여주는 원의 접선

🔍 증명 과정 (판별식 활용)

  1. 구하고자 하는 직선을 y = mx + n이라 하고 원 x2 + y2 = r2에 대입합니다.
  2. x2 + (mx + n)2 = r2 을 전개하여 정리하면:
    (1 + m2)x2 + 2mnx + (n2 – r2) = 0 이라는 x에 대한 이차방정식이 됩니다.
  3. 접선은 원과 한 점에서 만나므로, 이 이차방정식의 판별식(D/4)이 0이어야 합니다.
    D4
    = (mn)2 – (1 + m2)(n2 – r2) = 0
  4. 식 정리: m2n2 – (n2 – r2 + m2n2 – m2r2) = 0
  5. -n2 + r2 + m2r2 = 0 이므로 n2 = r2(1 + m2)
  6. 따라서 y절편 n = ±r√m2 + 1 이 유도됩니다.
💡 암기 팁!
“기울기 m을 쓰고, 반지름 r 뒤에 루트를 씌운 피타고라스 형태(m2+1)를 곱한다”고 생각하세요. 선이 2개니까 ±는 필수입니다!

2. 원 위의 점 (x1, y1)이 주어질 때

원 위의 특정 점에서의 접선은 반지름과 수직으로 만나는 오직 하나의 선입니다.

x1x + y1y = r2
접점 P(x1, y1)이 주어진 원의 접선 그래프

[그림 2] 접점 P에서 반지름과 수직으로 만나는 원의 접선

🔍 증명 과정 (수직 조건 활용)

  1. 원점 O(0,0)과 접점 P(x1, y1)을 잇는 직선의 기울기는
    y1x1
     입니다.
  2. 접선은 이 반지름과 수직이므로 접선의 기울기는
    -x1y1
     입니다. (두 기울기의 곱 = -1)
  3. 점 (x1, y1)을 지나는 직선의 방정식:
    y – y1 =
    -x1y1
    (x – x1)
  4. 양변에 y1을 곱해 정리하면: y1y – y12 = -x1x + x12
  5. 식을 넘기면: x1x + y1y = x12 + y12
  6. 이때 점 (x1, y1)은 원 위의 점이므로 x12 + y12 = r2 이 성립합니다.
  7. 최종적으로 x1x + y1y = r2 공식이 완성됩니다.
💡 암기 팁! (쪼개기 비법)
x2은 x가 두 개(x·x), y2은 y가 두 개(y·y)라고 생각하세요. 그중 하나에만 점의 좌표를 쏙! 대입하면 끝납니다.

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