중1 수학 심화 | 소인수분해와 서로소 완벽 가이드

🚀 중1 수학 심화: 소인수분해 활용 마스터

서로소의 개수부터 복잡한 총합 계산까지 한 번에 정리하기

안녕하세요! 오늘은 중등 수학의 첫 단추인 소인수분해를 활용한 고난도 유형들을 정리해 보겠습니다. 단순한 계산을 넘어 시험에 자주 나오는 서로소 관련 심화 문제들을 직접 풀어보며 실력을 다져보세요!

BEST 대표 유형

문제 1. 범위가 제한된 서로소 개수 찾기

4에서 28²까지의 자연수 중에서 28²과 서로소인 자연수는 모두 몇 개인가?

[핵심 포인트] 범위의 시작이 ‘1’이 아닐 때의 보정법!
1. 기준수 분석: 28² = (2² × 7)² = 2⁴ × 7² (= 784)
2. 서로소 조건: 2의 배수도 아니고 7의 배수도 아닌 수 찾기
3. 1~784 사이의 서로소: 784 – (392 + 112 – 56) = 336개
4. 범위 보정: 1~3 중 서로소인 1, 3(총 2개)을 제외
최종 정답: 334개

기본 문제 2. 12와 서로소인 수

1에서 50까지의 자연수 중에서 12와 서로소인 자연수의 개수를 구하시오.

1. 12 = 2² × 3
2. 2의 배수(25개), 3의 배수(16개), 공배수 6의 배수(8개)
3. 배수의 총합: 25 + 16 – 8 = 33개
정답: 50 – 33 = 17개

기본 문제 3. 35와 서로소인 수

1에서 100까지의 자연수 중에서 35와 서로소인 자연수의 개수를 구하시오.

1. 35 = 5 × 7
2. 5의 배수(20개), 7의 배수(14개), 공배수 35의 배수(2개)
3. 배수의 총합: 20 + 14 – 2 = 32개
정답: 100 – 32 = 68개

응용 문제 4. 특정 범위 (10~100)

10에서 100까지의 자연수 중에서 15와 서로소인 자연수는 모두 몇 개인가?

1. 15 = 3 × 5
2. 1~100까지 서로소: 100 – (33 + 20 – 6) = 53개
3. 1~9 사이의 서로소(1, 2, 4, 7, 8) 5개 제외
정답: 53 – 5 = 48개

응용 문제 5. 세 소인수 (3, 5, 7)

1에서 60까지의 자연수 중에서 3, 5, 7과 모두 서로소인 자연수는 몇 개인가?

1. 배수 개수: 3의 배수(20), 5의 배수(12), 7의 배수(8)
2. 공배수 제거: 15의 배수(4), 21의 배수(2), 35의 배수(1)
3. 세 수의 공배수 더하기: 0개
4. 전체 배수: (20+12+8) – (4+2+1) = 33개
정답: 60 – 33 = 27개

심화 문제 6. 서로소인 수들의 총합

두 자리 자연수 중에서 18과 서로소인 자연수들의 총합을 구하시오.

1. 18 = 2 × 3² → 2와 3의 배수 합 제외
2. 전체 두 자리 수(10~99) 합: 4905
3. 배수의 합 계산:
– 2의 배수 합: 2430 / 3의 배수 합: 1665 / 6의 배수 합: 810
4. 제외할 합계: 2430 + 1665 – 810 = 3285
최종 정답: 4905 – 3285 = 1620

🚀 중1 수학 심화: 소인수분해 활용 마스터

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