고2 수학 대수 파트에서 시험에 단골로 출제되는 로그의 정수 부분과 소수 부분은 중학교 때 배운 무리수(루트)의 개념과 완벽하게 똑같습니다. 소수점 아래 숫자를 직접 계산하지 않고도 거듭제곱의 대소 관계와 로그의 뺄셈 성질을 이용해 하나의 깔끔한 값으로 정리하는 핵심 원리를 알려드립니다.
1. 정수 부분과 소수 부분의 절대 규칙
어떤 무리수든 ‘원래 숫자 = 정수 부분 + 소수 부분’으로 이루어져 있습니다. 따라서 소수 부분을 구하려면 항상 ‘원래 숫자 – 정수 부분’을 계산하면 됩니다. (단, 0 ≤ 소수 부분 < 1)
중3 수학: 루트(√)로 푸는 방법
(예: √10)
(예: √10)
- 정수 부분 찾기: 10은 32(=9)과 42(=16) 사이에 있습니다.
√9 < √10 < √16 이므로, 3 < √10 < 4가 됩니다.
따라서 √10은 3.xxx이므로 정수 부분은 3입니다. - 소수 부분 구하기: (원래 숫자)에서 (정수 부분)을 뺍니다.
소수 부분은 √10 – 3이 됩니다. (루트는 여기서 계산 종료)
고2 수학: 로그(log)로 푸는 방법
(예: log210)
(예: log210)
- 정수 부분 찾기: 진수 10은 밑 2의 거듭제곱인 23(=8)과 24(=16) 사이에 있습니다.
log28 < log210 < log216 이므로, 3 < log210 < 4가 됩니다.
따라서 정수 부분은 3입니다. - 소수 부분 구하기: (원래 숫자)에서 (정수 부분)을 뺍니다.
일단 식은 log210 – 3이 됩니다. - 하나로 합치기: 정수 3을 다시 로그로 바꿉니다(3 = log28).
log210 – log28 = log2108 = log254
결과적으로 마지막에 뺄셈을 분수로 합쳐서 하나의 깔끔한 기호로 정리한다는 단계만 추가될 뿐, 기본 뼈대는 완벽하게 같습니다.
2. 실전 예시로 완벽 이해하기: log210 구하기
밑이 2인 로그에서 진수 10의 양옆을 밑 2의 거듭제곱으로 감싸는 것이 출발점입니다.
Step 1. 정수 부분 찾기 (거듭제곱 범위 가두기)
- 2의 거듭제곱을 차례로 계산해 봅니다: 23 = 8, 24 = 16
- 진수 10은 8과 16 사이에 있으므로: 23 < 10 < 24
- 각 변에 밑이 2인 로그를 취해줍니다:
log2(23) < log210 < log2(24)
→ 3 < log210 < 4 - 따라서 log210 은 3.xx 형태의 숫자이므로 정수 부분은 3입니다.
Step 2. 소수 부분 정확하게 표현하기 (로그 뺄셈 적용)
- 소수 부분은 원래 수에서 정수 부분을 뺀 값입니다:
log210 – 3 - 정수 3을 밑이 2인 로그로 다시 바꿉니다 (3 = log223 = log28):
= log210 – log28 - 로그의 뺄셈은 진수끼리의 나눗셈이 되므로 하나로 합칩니다:
= log2108 - 분수 10과 8을 2로 약분하여 최종 정리합니다:
= log254
3. 핵심 공식 요약
★ logax 의 정수 부분과 소수 부분 공식
- 정수 부분 (n): loga(an) ≤ logax < loga(an+1) 을 만족시키는 정수 n의 값
- 소수 부분: (logax 의 소수 부분) = logax – (정수 부분 n) = logaxan
4. 내신 대비 쌍둥이 문제 (직접 풀어보세요!)
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📝 실전 적용 문제
문제: log240의 정수 부분을 n, log515의 소수 부분을 α라 할 때, nα의 값은?
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[Step 1] 정수 부분 n 구하기
밑이 2인 거듭제곱을 생각해보면 25 = 32, 26 = 64 입니다.
32 < 40 < 64 이므로 각 변에 밑이 2인 로그를 취하면 log232 < log240 < log264 가 됩니다.
즉, 5 < log240 < 6 이므로 정수 부분 n = 5 입니다.
[Step 2] 소수 부분 α 구하기
밑이 5인 거듭제곱을 생각해보면 51 = 5, 52 = 25 입니다.
5 < 15 < 25 이므로 1 < log515 < 2 가 됩니다. (정수 부분이 1)
소수 부분은 ‘원래 수 – 정수 부분’ 이므로,
α = log515 – 1
α = log515 – log55 = log5155 = log53
[Step 3] 최종 값 계산하기
구해야 하는 값은 nα 이므로 구한 값을 대입해줍니다.
5log53
로그의 성질 중 ‘지수-로그 자리바꾸기 공식(alogcb = blogca)’에 의해 밑인 5와 지수의 진수인 3의 자리를 바꿀 수 있습니다.
= 3log55 = 31 = 3
정답: 3
밑이 2인 거듭제곱을 생각해보면 25 = 32, 26 = 64 입니다.
32 < 40 < 64 이므로 각 변에 밑이 2인 로그를 취하면 log232 < log240 < log264 가 됩니다.
즉, 5 < log240 < 6 이므로 정수 부분 n = 5 입니다.
[Step 2] 소수 부분 α 구하기
밑이 5인 거듭제곱을 생각해보면 51 = 5, 52 = 25 입니다.
5 < 15 < 25 이므로 1 < log515 < 2 가 됩니다. (정수 부분이 1)
소수 부분은 ‘원래 수 – 정수 부분’ 이므로,
α = log515 – 1
α = log515 – log55 = log5155 = log53
[Step 3] 최종 값 계산하기
구해야 하는 값은 nα 이므로 구한 값을 대입해줍니다.
5log53
로그의 성질 중 ‘지수-로그 자리바꾸기 공식(alogcb = blogca)’에 의해 밑인 5와 지수의 진수인 3의 자리를 바꿀 수 있습니다.
= 3log55 = 31 = 3
정답: 3
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중3 과정의 무리수(루트) 정수 부분과 소수 부분 구하는 방법이 헷갈린다면
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