[공통수학 2] 원의 접선의 방정식 | 유형별 문제 (기울기, 접점, 외부 점)

원의 접선의 방정식을 구하는 문제는 크게 세 가지 유형으로 나뉩니다. 각 유형별 핵심 공식과 상세한 유도 과정을 정리해 드립니다.

Step 1. 직선의 방정식 설정 기울기가 m인 직선을 y = mx + n으로 두고 일반형 mx － y + n = 0으로 변환합니다.

Step 2. 접할 조건(d = r) 적용 원의 중심 (0, 0)에서 직선 mx – y + n = 0까지의 거리 d는 반지름 r과 같아야 합니다.
d =

|n|

√m² + 1

= r

Step 3. y절편 n의 값 결정 |n| = r√m² + 1 ➔ n = ±r√m² + 1

y = mx ± r√m² + 1

[예제 ①] 원 x² + y² = 9에 접하고 기울기가 2인 접선의 방정식을 구하시오.

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1. 반지름 r = 3, 기울기 m = 2를 공식에 대입합니다.
2. y = 2x ± 3√2² + 1
3. 결과: y = 2x ± 3√5

Step 1. 반지름의 기울기 구하기 중심 O(0, 0)와 접점 P(x₁, y₁)을 잇는 반지름의 기울기는

y₁

x₁

입니다.

Step 2. 접선의 기울기 설정 접선은 반지름과 수직이므로 기울기는 m’ = －

x₁

y₁

입니다.

Step 3. 직선의 방정식 정리 점 (x₁, y₁)을 지나고 기울기가 m’인 직선:
y － y₁ = －

x₁

y₁

(x － x₁) ➔ y₁y － y₁² = －x₁x + x₁²
➔ x₁x + y₁y = x₁² + y₁² 이며, 점이 원 위에 있으므로 x₁x + y₁y = r²이 성립합니다.

x₁x + y₁y = r²

[예제 ②] 원 x² + y² = 10 위의 점 (1, 3)에서의 접선의 방정식을 구하시오.

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1. 점 (1, 3)을 공식 x₁x + y₁y = r²에 대입합니다.
2. (1)x + (3)y = 10
3. 결과: x + 3y = 10

유형 3. 원 밖의 한 점 P(x₁, y₁)에서 그은 접선 유도

Step 1. 외부 점을 지나는 직선 설정 mx － y － mx₁ + y₁ = 0

Step 2. d = r 조건식 세우기 d =

|y₁ － mx₁|

√m² + 1

= r

💡 핵심 Tip: 양변을 제곱하여 m에 관한 방정식을 풀 때 m의 값이 하나만 나온다면, 나머지 한 접선은 수직선(x = 상수) 형태이므로 그래프를 그려 확인해야 합니다.

[메인 예제] 점 (－2, 4)에서 원 x² + y² = 4에 그은 접선의 방정식을 구하시오.

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1) 직선: mx － y + 2m + 4 = 0
2) d = r:

|2m + 4|

√m² + 1

= 2
3) 계산: |m + 2| = √m² + 1 ➔ m² + 4m + 4 = m² + 1 ➔ m = －3/4
4) 특수 상황 확인: m이 하나뿐이므로 그래프를 그려 x = －2가 추가 접선임을 확인합니다.