고2 수학 대수(지수와 로그) 파트에서 모의고사나 내신에 자주 등장하지만 많은 학생들이 멈칫하는 유형이 바로 지수 자리에 로그가 얹혀 있는 계산입니다. 억지로 공식만 외우려 하면 헷갈리지만, 로그의 본질(정의)과 밑-진수 자리바꾸기 원리만 알면 1초 만에 답을 낼 수 있습니다.
1. 로그의 본질로 이해하는 2log25 = 5
이 식은 복잡한 공식을 쓸 필요 없이 로그의 약속 그 자체를 묻는 문제입니다.
💡 로그 기호의 본질:
log25의 진짜 뜻은 “2를 몇 제곱해야 5가 되는가?”를 나타내는 지수 값입니다.
따라서 2라는 밑 위에 바로 그 지수인 log25를 그대로 올렸으므로, 당연히 목표 숫자인 5가 튀어나오게 됩니다.
log25의 진짜 뜻은 “2를 몇 제곱해야 5가 되는가?”를 나타내는 지수 값입니다.
따라서 2라는 밑 위에 바로 그 지수인 log25를 그대로 올렸으므로, 당연히 목표 숫자인 5가 튀어나오게 됩니다.
공식으로 확인하는 자리바꾸기 테크닉:
- 지수-로그 자리바꾸기 공식: alogcb = blogca
- 맨 아래의 밑 2와 맨 위 꼭대기의 진수 5의 자리를 맞바꿉니다.
2log25 = 5log22 - 밑과 진수가 같으면 1(log22 = 1)이므로:
51 = 5 가 됩니다.
2. 실전 빈출 유형: 3log132 계산하기
거듭제곱의 밑은 3인데, 지수 위 로그의 밑은 분수 13인 경우입니다. 두 가지 풀이법으로 해결할 수 있습니다.
방법 A. 자리바꾸기 공식 활용 (가장 추천하는 직관적 풀이)
- 맨 아래의 큰 수 3과 로그의 진수 2의 자리를 바꿉니다:
3log132 = 2log133 - 지수 부분인 log133을 계산합니다:
• 13을 역수로 뒤집어야 3이 되므로, 지수는 -1입니다. ((13)-1 = 3 → log133 = -1) - 지수에 -1을 대입해 마무리합니다:
2-1 = 12
방법 B. 지수에 있는 로그의 밑을 3으로 먼저 통일하기
- 지수 위에 얹혀 있는 log132만 먼저 분리해서 정리합니다.
• 13은 3-1로 변환: log3-12
• 밑의 지수(-1)는 분모로 나감: 1-1 log32 = -log32
• 마이너스 부호를 진수의 지수로 다시 올림: log3(2-1) = log3(12) - 원래 식에 대입합니다:
3log3(12) = 12
👉 양변에 로그를 취해 대수적으로 엄밀하게 증명하기 [클릭]
[정규 유도 과정]
구하려는 식 전체를 X라고 둡니다: X = 3log132
1. 양변에 밑이 3인 로그를 취합니다:
log3X = log3(3log132)
2. 진수의 지수를 앞으로 내려 곱합니다:
log3X = (log132) × (log33)
3. log33 = 1 이며, log1/32 = -log32 = log3(1/2) 이므로:
log3X = log3(12)
4. 양변의 진수가 같아야 하므로:
X = 12
구하려는 식 전체를 X라고 둡니다: X = 3log132
1. 양변에 밑이 3인 로그를 취합니다:
log3X = log3(3log132)
2. 진수의 지수를 앞으로 내려 곱합니다:
log3X = (log132) × (log33)
3. log33 = 1 이며, log1/32 = -log32 = log3(1/2) 이므로:
log3X = log3(12)
4. 양변의 진수가 같아야 하므로:
X = 12
3. 실전 적용 퀴즈 (직접 풀어보기)
문제: 5log154 의 값을 구하시오.
정답 및 해설 확인
밑 5와 진수 4의 자리를 바꿉니다:
4log155
log1/55 = -1 이므로:
4-1 = 14
4log155
log1/55 = -1 이므로:
4-1 = 14