[고2 수학 대수] 로그(log) 기본 개념 & 로그의 9가지 성질 총정리

로그는 기호가 낯설 뿐, 뜻을 알고 나면 단순합니다. 한마디로 “몇 번 곱해야 이 숫자가 나오지?”를 묻는 기호입니다. 2를 3번 곱해야 8이 나오듯, 그 ‘3번’이라는 지수를 구하기 위해 만든 도구입니다. 기본 조건부터 로그의 핵심 성질 9가지를 쉬운 설명과 증명으로 정리해 드립니다.

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1. 로그의 뜻과 밑·진수 조건

• 로그의 정의: a^m = b ⇔ m = log_ab
  • 거듭제곱의 밑(a): 크게 쓰는 기준 숫자
  • 지수(m): 오른쪽 위에 작게 쓰는 거듭제곱 횟수
  • 진수(b): 곱해서 나온 목표 숫자
• 쉽게 보는 예시:
  • 2를 몇 번 곱해야 8이 될까? (2³ = 8) → 3번! → log₂8 = 3
  • 3을 몇 번 곱해야 81이 될까? (3⁴ = 81) → 4번! → log₃81 = 4

2. 로그의 기본 9가지 성질

(1) 진수가 1이면 로그의 값은 0이다.

log_a1 = 0

쉬운 설명: 어떤 숫자든 0번 곱하면(0제곱하면) 무조건 1이 되기 때문입니다.

👉 (1)번 성질 [증명보기]

a⁰ = 1 이므로 로그의 정의에 의해 log_a1 = 0 입니다.
(예: log₂1 = 0, log₅1 = 0)

(2) 밑과 진수가 같으면 로그의 값은 1이다.

log_aa = 1

쉬운 설명: a를 1번만 곱하면 자기 자신 a가 되기 때문입니다.

👉 (2)번 성질 [증명보기]

a¹ = a 이므로 로그의 정의에 의해 log_aa = 1 입니다.
(예: log₃(2a – 1) = 1 이면 3 = 2a – 1 이 되므로 a = 2)

(3) 밑이 같은 로그가 +나 -로 연결되어 있으면 하나의 로그로 합칠 수 있다.

• 더하기는 곱하기로: log_aM + log_aN = log_a(MN)
• 빼기는 나누기로: log_aM – log_aN = log_aMN

👉 (3)번 합치기 공식 [증명보기]

log_aM = x, log_aN = y 라고 두면 a^x = M, a^y = N 입니다.

1. 곱할 때 (지수의 덧셈): MN = a^x × a^y = a^x+y
→ 로그 정의 적용: log_a(MN) = x + y = log_aM + log_aN

2. 나눌 때 (지수의 뺄셈): MN = a^xa^y = a^x-y
→ 로그 정의 적용: log_aMN = x – y = log_aM – log_aN

(4) 진수가 곱꼴, 분수꼴이면 로그의 합과 차로 분리할 수 있다.

3번 공식의 반대 방향입니다. 하나의 로그를 여러 개의 로그로 쪼개어 계산할 때 사용합니다.

• 진수 곱 → 로그 합: log_a(MN) = log_aM + log_aN
• 진수 분수 → 로그 차: log_aMN = log_aM – log_aN

👉 (4)번 분리 공식 [예시보기]

분자에 있던 것은 앞에 +, 분모에 있던 것은 앞에 -를 붙여 분리합니다.

log₂abcde = log₂(abc) – log₂(de)
= (log₂a + log₂b + log₂c) – (log₂d + log₂e)
= log₂a + log₂b + log₂c – log₂d – log₂e

(5) 밑과 진수를 바꾸면 역수가 된다.

log_ab = 1log_ba

쉬운 설명: 2를 3제곱하면 8이 됩니다(log₂8 = 3). 반대로 8을 2로 되돌리려면 3등분 거듭제곱, 즉 13제곱을 해야 합니다(log₈2 = 13). 가는 길과 돌아오는 길의 방향이 바뀌므로 둘은 무조건 역수 관계가 됩니다.

👉 (5)번 역수 성질 [증명보기]

log_ab = m 이라 두면 a^m = b 입니다.
양변에 똑같이 1m 거듭제곱을 취해주면 a = b^1m 이 됩니다.
이를 밑이 b인 로그로 바꾸면 log_ba = 1m 이 됩니다.
따라서 log_ab = 1log_ba 입니다.

(6) 밑과 진수에 붙어 있는 지수는 log 앞으로 튀어 나갈 수 있다.

log_a^mbⁿ = nm log_ab

• 진수 머리 위의 작은 지수(n) → 분자로 나감
• 밑 머리 위의 작은 지수(m) → 뒤집혀서 분모로 나감

👉 (6)번 지수 빼내기 [증명보기]

1. 진수의 지수:
log_ab³ = log_a(b × b × b) = log_ab + log_ab + log_ab = 3 log_ab

2. 밑의 지수: (5번 역수 성질 이용)
log_aⁿb = 1log_b(aⁿ) = 1n × log_ba = 1n × 1log_ba = 1n log_ab

(7) 밑 변환 공식 (칼 공식)

log_ab = log_cblog_ca (단, c는 1이 아닌 양수)

쉬운 설명: 밑 a가 마음에 안 들 때, 칼로 자르듯이 새로운 밑 c를 붙여 분수 위아래로 쪼개는 공식입니다.

• 지수-로그 자리바꾸기 공식: a^log_cb = b^log_ca (큰 밑 a와 지수 위의 진수 b는 자리를 바꿀 수 있음)
• 자주 나오는 꼴: a^log_ab = b^log_aa = b¹ = b (예: 7^log₇6 = 6)

👉 (7)번 밑 변환 공식 [증명보기]

log_ab = m, log_ca = n 이라 두면 b = a^m, a = cⁿ 입니다.
b = a^m = (cⁿ)^m = c^mn 이므로 이를 밑이 c인 로그로 표현하면:
log_cb = mn = (log_ab) × (log_ca)
양변을 log_ca 로 나누면 log_ab = log_cblog_ca 가 성립합니다.

(8) 로그끼리 x로 연결되어 있으면 밑끼리 자리를 바꿀 수 있다.

log_★a × log_♥b = log_♥a × log_★b

쉬운 설명: 로그의 곱셈에서는 밑들끼리 자리를 자유롭게 바꿔서 계산하기 편한 짝꿍을 맞출 수 있습니다.

👉 (8)번 밑 교환 성질 [증명보기]

밑 변환 공식으로 임의의 밑 c를 써서 분수로 나타내 봅니다.
log_★a × log_♥b = log_calog_c★ × log_cblog_c♥
분모는 숫자끼리의 단순 곱셈이므로 순서를 바꾸어도 결과가 같습니다.
= log_calog_c♥ × log_cblog_c★ = log_♥a × log_★b

(9) 밑과 진수에 동일한 거듭제곱을 해도 식의 값은 변함없다.

log_ab = log_a²(b²) = log_a³(b³) = log_√a√b = log_1a(1b)

※ 똑같이 제곱 제곱, 세제곱 세제곱, 루트 루트, 역수 역수를 취해도 크기가 같습니다.

👉 (9)번 성질 [활용 예시보기]

[예시] 3^log₉4 를 간단히 할 때:
밑 9와 진수 4에 동시에 루트를 씌워주면 바로 log₃2 가 됩니다.
→ 3^log₉4 = 3^log₃2 = 2 (밑 변환 공식 없이 1초 만에 해결)

3. 실전 필수 예제 6선 (지수 빼내기 & 밑 교환)

예제 1. 밑에 루트가 있는 유형 (6번 성질)

log_√3 3 = log_3¹² 3¹ = 112 = 2

예제 2. 둘 다 거듭제곱으로 나타내는 유형 (6번 성질)

log₂₇ 81 = log_3³ 3⁴ = 43

예제 3. 분수 밑과 루트 진수로 음수 지수가 나오는 유형 (6번 성질)

log₁₂ √2 = log_2^-1 2¹² = 12-1 = –12

예제 4. 분수 거듭제곱이 진수에 있는 유형 (6번 성질)

log₈₁ (1243) = log_3⁴ 3^-5 = –54

예제 5. 지수법칙과 번분수 계산 유형 (6번 성질)

log₄ (2√2) = log_2² (2¹ × 2¹²) = log_2² 2³² = 322 = 34

예제 6. 로그 3개의 곱셈 (8번 밑 자리 바꾸기 성질)

문제: log₂9 × log₃25 × log₅8
풀이: 곱셈으로 묶여 있으므로 큰 밑(2, 3, 5)을 진수 거듭제곱에 맞게 자리를 바꿉니다.
= log₃9 × log₅25 × log₂8
= log₃(3²) × log₅(5²) × log₂(2³)
= 2 × 2 × 3 = 12

4. 감각 기르기 연습문제 정답